🎢 高中 · 能量与动量（5 个公式）
两条「不问过程细节、只看首末状态」的强大主线：能量守恒与动量守恒。
⛰️ 动能与势能E_k = ½mv² E_p = mgh
能量
公式与变量
Ek = 12mv² Ep = mgh
Ek动能 J——只由速率决定，与方向无关（标量）
Ep=mgh重力势能 J——h 是相对参考面的高度，参考面可任选
💡 小球沿光滑斜面下滑：绿色动能条不断变长，蓝色势能条缩短，但两根条的总长始终不变——这就是机械能守恒的直观图像。
公式变形与应用
Ek=½mv² → 例：2kg 物体速度 3 m/s ⇒ Ek=9 J（v 翻倍则 Ek 变 4 倍！）
Ep=mgh → 例：2kg 升高 5 m ⇒ Ep=98 J（相对参考面）
光滑下滑到底端：
mgh=½mv² ⇒ v=√2gh 与质量无关！
🛷 动能定理W合 = ΔEk · 合外力做的功
能量
公式与变量
W合 = ΔEk = 12mv₂² − 12mv₁²
W合所有外力做功的代数和（动力做正功、阻力做负功）
ΔEk末动能减初动能
💡 实验流程：用力推 15 m → 撤力 → 在摩擦下自然停住。观察账本：F·d₁（正功）+ 两段摩擦负功 = 0 = ΔEk（始末都静止）。若推力不足以克服摩擦（F≤μmg），物体不动并给出提示。
公式变形与应用
W合=Fl·cosθ → 斜面上：W合=mgh−μmgcosθ·L（拉力和摩擦一起记账）
v=√v₀²+2W合/m → 不必知道加速度和时间！
0−½mv₀²=−μmgx ⇒ x=v₀²/(2μg)
与牛顿定律结果一致，但路径更短。
推导动画 · 从牛顿第二定律推出动能定理
第 1 步 · 出发点是牛顿第二定律
F合 = ma
第 2 步 · 两边同时乘以位移 x
力的空间累积就是功：
F合x = max ≡ W合
第 3 步 · 用运动学替换 ax
匀变速公式 v²−v₀²=2ax 给出：
ax = v² − v₀²2
第 4 步 · 合并得到动能定理
W合 = ½mv² − ½mv₀² = ΔEk ✓（比牛顿定律更普适：曲线运动、变力也适用）
🕰️ 机械能守恒定律E_k+E_p = 常量（只有重力做功时）
能量
公式与变量
Ek1+Ep1 = Ek2+Ep2
条件只有重力（或弹力）做功——没有摩擦、没有外力做功
意义动能与势能互相转化，总量保持不变
💡 单摆在最低点最快（动能最大）、最高点瞬时静止（势能最大）。切换到「有空气阻力」：总机械能条慢慢变短——转成了内能，此时守恒式失效，要用动能定理或能量守恒（含内能）。
公式变形与应用
最大摆角 θ 处 vs 最低点：
mgL(1−cosθ) = ½mv² ⇒ v=√2gL(1−cosθ)
沿光滑曲/直面下滑 h：
mgh = ½mv² —— 与路径形状无关，只看高度差
✔ 可用：自由落体、平抛（只有重力）、光滑面滑动；✘ 不可用：有摩擦、有拉力做功、爆炸反弹等。
🎱 动量守恒定律m₁v₁ + m₂v₂ = 常量
动量
公式与变量
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′
成立条件系统不受外力或外力矢量和为零（碰撞、爆炸内力远大于外力时近似可用）
v 的符号先定正方向：向右为正、向左为负
💡 碰撞前后对比表实时显示：动量总是守恒；弹性碰撞总动能不变，完全非弹性碰后同速、动能损失最多（变成形变与内能）。试试 m₁=m₂ 的弹性碰撞——交换速度！
公式变形与典型结论
m₁v₁ = (m₁+m₂)v 共：
v共 = (m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)
弹性碰撞通解（联立守恒两式）：
v₁′=(m₁−m₂)v₁+2m₂v₂m₁+m₂ v₂′ 对调 1↔2
火箭/反冲：初始总动量为零 ⇒ Mv火箭 = −mv燃气，向后的气体换来向前的速度。