🛰️ 高中 · 圆周运动与万有引力（3 个公式）
从绳系小球的向心力，到天上的卫星——同一套物理。
🎡 向心加速度与向心力aₙ = v²/r = ω²r Fₙ = maₙ
圆周运动
公式与变量
an = v²r = ω²r Fn = man
v、ω线速度 m/s 与角速度 rad/s（v = ωr）
r圆周运动的半径，单位 m
an、Fn向心加速度 m/s² 与向心力 N，方向始终指向圆心
💡 绿色箭头是速度（沿切线），红色箭头是向心力（指向圆心）——两者垂直。增大 v 或减小 r，需要的向心力急剧增大：F ∝ v²。右侧两个公式算出的 a 恒等（因为 ω=v/r）。
公式变形与应用
ω = v/r ⇒ aₙ = v²/r = ω²r ✓ 已知 v 用第一式，已知转速 n 转/s 则 ω=2πn
竖直平面内绳系小球最高点：
mg + T = mv²/r 最小速度 v_min=√gr（绳不松，T≥0）
汽车转弯靠摩擦提供向心力 μmg ≥ mv²/r ⇒ 安全速度 v≤√μgr；火车外轨超高、赛车倾斜赛道同理。
⚠️ 「向心力」是效果命名——它由某个真实的力（绳拉力、重力分量、摩擦力）充当，不是新出现的力，受力分析时不能多画一个！
🌍 万有引力定律F = G·m₁m₂/r²
天体物理
公式与变量
F = Gm₁m₂r² （G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²）
G引力常量，卡文迪什扭秤实验测得——把天上地下统一了起来
m₁、m₂两物体（视为质点/球体）的质量，单位 kg
r两质点（球心）间的距离，单位 m
💡 拖动 r 滑杆观察箭头变化：r 翻倍，F 变为 1/4——平方反比的威力。预设按钮载入地球—月球、太阳—地球的真实数据。
公式变形与应用
F = Gm₁m₂/r² → 日地间：F≈3.6×10²² N（正是它束缚地球公转）
卡文迪许的「称量地球」：
地面 mg = GmM/R² ⇒ M = gR²/G ≈ 6×10²⁴ kg
地表附近可认为 F引≈重力；随高度升高 g'=GM/(R+h)² 减小，所以高空重力加速度变小、物体「变轻」。
🛸 天体运行轨道方程万有引力 = 向心力 · 黄金代换 GM = gR²
天体物理
轨道方程（黄金代换）
GMmr² = mv²r = mω²r = m4π²T²r （GM = gR²）
💡 调节轨道半径：越低的轨道飞得越快、周期越短；同步轨道恰好 24 h 一圈，「挂」在赤道上空不动。v=√(GM/r) 与卫星质量无关——大卫星和小卫星同轨同速。
常用结论变形
v = √GM/r → r 越大 v 越小（高轨低速长周期）
T = 2π√r³/GM → 开普勒第三定律 T²∝r³ 的来源
近地轨道 r≈R 代入并用黄金代换：
v₁ = √gR ≈ 7.9 km/s —— 发射人造卫星的最小速度
推导动画 · 黄金代换 GM = gR² 从哪来？
第 1 步 · 让万有引力充当向心力
卫星绕地球做匀速圆周运动，引力就是向心力：
GMmr² = mv²r
第 2 步 · 站在地面上想
地面附近，忽略自转，引力近似等于重力（这就是「重力加速度」的来源）：
GMm′R² = m′g
第 3 步 · 两边消去 m′，得到黄金代换
M 是地球质量，通常未知；但 g 和 R 地表可测：
GM = gR² ✓（用「g、R」替换未知的「GM」）
第 4 步 · 回代轨道方程，摆脱未知数 M
把 GM=gR² 代入第 1 步：
v = √GM/r = √gR²/r = R·√g/r ✓
第 5 步 · 算出第一宇宙速度
取 r≈R=6400 km，g=9.8 m/s²：
v₁ = √(gR) = √(9.8×6.4×10⁶) ≈ 7.9×10³ m/s ✓